2022年08月09日

「オイラー・マクローリン総和式の注」を読む(1)

NOTES ON THE EULER-MACLAURIN SUMMATION FORMULAを少しずつ読んでいきたいと思います。

まず「オイラー・マクローリン総和式」はここを参照してください。

さて、区間 \(-1\leq x\leq 1\) で定義された関数 \(f(x)\) を考えます。プライム(\({ }'\)) は \(x\) での微分を示すことにすると、部分積分を使って、



となり、ここから



です。つまり、



とすると、この pdf での式(1)



が出てきます。


1. 部分ごとの逐次積分による展開:

ここで、



という関数群を考えると上で示した式は




さらに



であり、



となるので、まとめると







から



この操作を続けると



となり、もう少しまとめると



となります。

今日はこの辺で。。

posted by T_NAKA at 09:00| Comment(0) | 数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2022年08月08日

10分で物理学史

これは前にも紹介したことがあるような気がしますが、MIT OpenCouse の "Relativity"LECTURE NOTES_CouseOverviewの Brief History of Physics を訳しておきましょう。

10分で物理学史

1.古代文明(何がかれらを制限したのか?)
2.ニュートン力学(1600年代)
3.電磁気学(1800-1875)
4.統計力学と熱力学(1850-1900)
5.相対性理論(アインシュタイン 1905、1916)
6.量子力学(1900-1926)
7.1900年代のブレークスルー
8.あなたがしなければならないことは何?


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ニュートン力学(1600年代)

ティコ・ブラーエ 1546-1601 オランダ
ヨハネス・ケプラー 1571-1630 ドイツ
アイザック・ニュートン卿 1642-1727 イギリス
プリンキアは 1678 に出版

重力天文学の時代(1700年代)

レオンハルト・オイラー 1707-1783 スイス
アレクシス・クレロー 1713-1765 フランス
ジャン・ダランベール 1717-1783 フランス
ジョセフ・ラグランジュ 1736-1813 フランス
ピエール・ラプラス 1749-1827 フランス

電気と磁気の時代(1800-1875)

カール・F・ガウス 1777-1855 ドイツ
アンドレ・アンペール 1775-1836 フランス
マイケル・ファラデー 1791-1867 イギリス 
ゲオルク・オーム 1787-1854 ドイツ
ジェームズ・C・マクスウェル 1831-1879 スコットランド

統計力学と熱力学(1850-1900)

クラウジウス 1822-1888
ジュール 1818-1889
ケルビン 1824-1907
ヘルムホルツ 1821-1871
マクスウェル 1831-1879
ボルツマン 1844-1906
プランク 1858-1947

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相対性理論

アルバートアインシュタイン 1899-1955
(ローレンツ、リーマン、シュワルツシルト、カー、FRW-L、ウィーラー、クルスカル、ホーキング、..)

量子力学

マックス・プランク 1858-1947
ニールス・ボーア 1885-1962
ルイ・ドブロイ マックス・ボルン 1882-1970
ヴェルナーハイゼンベルク 1901-1976
アーウィン・シディンガー 1887-1961
ヴォルフガング・パウリ 1900-1958
ジョンフォンノイマン
ポール・ディラック
ヒュー・エヴェレットⅢ 1930-1982
ハンス・ディーター・ゼー
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2022年08月07日

2019年センター試験での確率の問題

統計の問題も嫌いなんですが、確率の問題も嫌いです。しかし、「数学Ⅰ・数学A 第3問」を考えてみます。

状況は次のようなものです。

画像


赤い袋に、赤玉2個、白玉1個 白い袋に、赤玉1個、白玉1個 が入っています。

1回目の操作:
 さいころを一回投げて
   3の倍数が出たら、白い袋を選択し、その袋から玉を取り出して、色を確認してから、その袋に戻す。 
   それ以外の目なら、赤い袋を選択、その袋から玉を取り出して、色を確認してから、その袋に戻す。 

2回目、3回目の操作:
 直前に取り出した玉の色の袋から玉を1個取り出し、色を確認してから、その袋に戻す。  

う~ん、、分かりにくい。。
とにかく、玉は元の袋に戻すので、
 「赤い袋」から取り出した玉の色が「赤」の確率: 2/3
 「赤い袋」から取り出した玉の色が「白」の確率: 1/3
 「白い袋」から取り出した玉の色が「赤」の確率: 1/2
 「白い袋」から取り出した玉の色が「白」の確率: 1/2
というのは変わりません。
また、サイコロの目は1~6までなので、3の倍数は 3 と 6 だけです。なので、
 サイコロの目が3の倍数の確率: 1/3 → 1回目の操作で白い袋を選択する確率
 それ以外の目になる確率: 2/3 → 1回目の操作で赤い袋を選択する確率
です。

(1) は、1回目の操作で、
   赤い袋が選ばれ赤玉が取り出される確率
   白い袋が選ばれ赤玉が取り出される確率
 を訊いています。

  赤い袋が選ばれ赤玉が取り出される確率: (2/3)×(2/3) = 4/9
  白い袋が選ばれ赤玉が取り出される確率:  (1/3)×(1/2) = 1/6

(2) は、2回目の操作が白い袋になる確率を訊いています。

 これは、1回目の操作で、袋の色に関わらず、白玉を選択する確率なので、場合分けすると

  赤い袋が選ばれ白玉が取り出される確率: (2/3)×(1/3) = 2/9
  白い袋が選ばれ白玉が取り出される確率:  (1/3)×(1/2) = 1/6 

 2回目の操作が白い袋になる確率: (2/9)+(1/6) = (4/18)+(3/18) = 7/18

(3) は、1回目の操作で白玉を取り出す確率を p で表します。
  そうすると、2回目の操作で 白玉を取り出す確率はどう表現されるか?それはどう計算されるか?
  3回目の操作で 白玉を取り出す確率はどう計算されるか?
  を訊いています。

  1回目の操作で白玉を取り出す確率 p (白い袋を選ぶ確率)
 → 2回目の操作で白い袋から白玉を取り出す確率 : p×(1/2) 
  1回目の操作で赤玉を取り出す確率を 1-p (赤い袋を選ぶ確率)
 → 2回目の操作で赤い袋から白玉を取り出す確率 : (1-p)×(1/3)

  2回目の操作で 白玉を取り出す確率: p×(1/2)+(1-p)×(1/3) = (1/2 -1/3)×p +(1/3) = (1/6)×p+(1/3)
  前問(2) で p = 7/18 なので、 (1/6)×(7/18)+(1/3) = 43/108

   2回目の操作で 白玉を取り出す確率を q とすると、3回目の操作で 白玉を取り出す確率:(1/6)×q+(1/3)
q = 43/108 なので、(1/6)×(43/108)+(1/3) = 259/648

(4) は、2回目の操作で取り出した玉が白玉であったとき、その玉を取り出した袋の色が白である条件付確率
3回目の操作で取り出した玉が白玉であったとき、 初めて白玉が取り出されたのが3回目の操作である条件付確率
   を訊いています。

 まず、2回目の操作で取り出した玉が白玉であった場合は

1回目の操作で赤い袋が選ばれ(2/3)、赤玉(2/3)が選ばれ2回目操作で赤い袋から白玉(1/3)が選ばれる 4/27
1回目の操作で赤い袋が選ばれ(2/3)、白玉(1/3)が選ばれ2回目操作で白い袋から白玉(1/2)が選ばれる 1/9 
1回目の操作で白い袋が選ばれ(1/3)、赤玉(1/2)が選ばれ2回目操作で赤い袋から白玉(1/3)が選ばれる 1/18
1回目の操作で白い袋が選ばれ(1/3)、白玉(1/2)が選ばれ2回目操作で白い袋から白玉(1/2)が選ばれる 1/12

 全部の確率を足すと 43/108
 2回目操作で白い袋が選ばれる確率 (1/9)+(1/12) = 7/36
 2回目の操作で取り出した玉が白玉であったとき、その玉を取り出した袋の色が白である条件付確率は
    (7/36)÷(43/108) = 21/43
ラベル:統計学 問題
posted by T_NAKA at 09:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする