T_NAKAの(新)阿房ブログ

2024年09月19日

Dirac の γ行列（２）

今回は具体的なパウリ表現を提示して、考察します。

パウリ表現：

$\gamma ^{0}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & -\boldsymbol{I} \\ \end{bmatrix}\;,\;\;\gamma ^{i}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\sigma }_{i} \\ -\boldsymbol{\sigma }_{i} & \boldsymbol{O} \\ \end{bmatrix}$

ここで、

$\boldsymbol{O}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}\;,\;\;\boldsymbol{I} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

また、 $\boldsymbol{\sigma }_{i}$ はパウリのスピン行列で２×２行列です。
具体的には、

$\boldsymbol{\sigma }_{1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}\;,\;\;\boldsymbol{\sigma }_{2} =\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0\\ \end{pmatrix}\;,\;\;\boldsymbol{\sigma }_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\\ \end{pmatrix}$

であり、スピン行列の積は、

$\boldsymbol{\sigma} {_{1}}^{2}=\boldsymbol{\sigma} {_{2}}^{2}=\boldsymbol{\sigma} {_{3}}^{2}= \boldsymbol{I}$

$\begin{align*} \boldsymbol{\sigma}_{1} \boldsymbol{\sigma}_{2}&=-\boldsymbol{\sigma}_{2} \boldsymbol{\sigma}_{1}=i\boldsymbol{\sigma }_{3}\\ \boldsymbol{\sigma}_{2} \boldsymbol{\sigma}_{3}&=-\boldsymbol{\sigma}_{3} \boldsymbol{\sigma}_{2}=i\boldsymbol{\sigma }_{1}\\ \boldsymbol{\sigma}_{3} \boldsymbol{\sigma}_{1}&=-\boldsymbol{\sigma}_{1} \boldsymbol{\sigma}_{3}=i\boldsymbol{\sigma }_{2}\\ \end{align*}$

となります。
まず、冒頭にあげたパウリ表現の定義式から、

$\textrm{Tr}(\gamma ^{\mu })=0$

であることは明確です。
次に、

$\begin{align*} \begin{bmatrix} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & -\boldsymbol{I}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & -\boldsymbol{I}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{I} \\ \end{bmatrix}= \boldsymbol{1}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\sigma } _{i}\\ -\boldsymbol{\sigma }_{i} & \boldsymbol{O}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\sigma } _{i}\\ -\boldsymbol{\sigma }_{i} & \boldsymbol{O}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\boldsymbol{\sigma }{_{i}}^{2} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & -\boldsymbol{\sigma }{_{i}}^{2} \\ \end{bmatrix}= -\boldsymbol{1}\\ \end{align*}$

から、

$(\gamma ^{0 })^{2}= \boldsymbol{1}\;,\;\;(\gamma ^{i})^{2}=-\boldsymbol{1}$

さらに、

$\begin{align*} \gamma ^{0}\gamma ^{i}&= \begin{bmatrix} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O}& -\boldsymbol{I} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\sigma }_{i}\\ -\boldsymbol{\sigma }_{i} & \boldsymbol{O}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\sigma }_{i} \\ \boldsymbol{\sigma }_{i} & \boldsymbol{O} \\ \end{bmatrix}\\ \gamma ^{i}\gamma ^{0}&= \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\sigma }_{i}\\ -\boldsymbol{\sigma }_{i} & \boldsymbol{O}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O}& -\boldsymbol{I} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & -\boldsymbol{\sigma }_{i} \\ -\boldsymbol{\sigma }_{i} & \boldsymbol{O} \\ \end{bmatrix}=-\gamma ^{0}\gamma ^{i}\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \gamma ^{i}\gamma ^{j}&= \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\sigma }_{i} \\ -\boldsymbol{\sigma }_{i} & \boldsymbol{O}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\sigma }_{j} \\ -\boldsymbol{\sigma }_{j} & \boldsymbol{O}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -\boldsymbol{\sigma }_{i} \boldsymbol{\sigma }_{j}& \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & -\boldsymbol{\sigma }_{i} \boldsymbol{\sigma }_{j}\\ \end{bmatrix}\\ &=-\begin{bmatrix} -\boldsymbol{\sigma }_{j} \boldsymbol{\sigma }_{i}& \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & -\boldsymbol{\sigma }_{j} \boldsymbol{\sigma }_{i}\\ \end{bmatrix}=-\gamma ^{i}\gamma ^{j} \end{align*}$

まとめると、

$\begin{align*} &(\gamma ^{0 })^{2}= \boldsymbol{1}\;,\;\;(\gamma ^{i})^{2}=-\boldsymbol{1}\;,\\ &\gamma ^{0}\gamma ^{i}= -\gamma ^{i}\gamma ^{0}\;,\;\;\gamma ^{i}\gamma ^{j}= -\gamma ^{j}\gamma ^{i}\\ \end{align*}$

となり、パウリ表現が反交換関係

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu } \right\}= 2g^{\mu \nu }\boldsymbol{1}$

を満たすことが分かります。

今日はこの辺で。。

ラベル：場の量子論

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2024年09月18日

マックスウェル方程式を旋りて（２）

「入門現代の相対性理論　電磁気学の定式化からのアプローチ」を入手してパラパラ読んでいます。電磁気学というと、標題の「マックスウェル方程式」が重要なので、この本を参考にておさらいをします。

今回はマックスウェル方程式の第一式 $\varepsilon _{0}\nabla\cdot \boldsymbol{E}= \rho $ を考えます。

この式の両辺をある閉領域 $V$ で積分することを考えます。この領域を囲む閉曲面を $S= \partial V$ とすると、ガウスの定理から、

$\int_{V}dV \;\nabla\cdot \boldsymbol{E}= \int_{\partial V}dS\: \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{n}$

なので、マックスウェル方程式の第一式の積分形は

$\varepsilon _{0}\int_{\partial V}dS\: \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{n}= \int_{V}dV\: \rho$

となります。

[引用]------------------------------------
この式は、ある範囲 ($S= \partial V$) での法線方向の電場の積分は、その閉曲面で囲まれた領域 $V$ の中に含まれる電荷の総量に等しいことを表現しています（ガウスの法則）。
-----------------------------------------

次に、静止している点電荷 $Q$ を中心に持つ半径 $r$ の球面を考えます。
対称性から、球面上の電場の法線成分 $E_{r}$ はどこでも同じ値と考えられます。
ここでガウスの法則を適用すると、

$\varepsilon _{0}\times 4\pi r^{2}\times E_{r}= Q$

よって、

$E_{r}= \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\: \frac{Q}{r^{2}}$

電荷 $q$ を持つ試験電荷をこの球面に置くと、電場の定義から

$F_{r}=qE_{r}= \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\: \frac{qQ}{r^{2}}$

となり、これは２つの静電荷間に働く力についてのクーロンの法則になります。

今日はこの辺で。。

ラベル：電磁気

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2024年09月17日

Dirac の γ行列（１）

この話題は何回も取り上げていますが、再度考えます。

反交換関係

$\left\{ \gamma ^{\mu },\;\gamma ^{\nu }\right\}= 2g^{\mu \nu }\boldsymbol{1}$

において、$\mu=\nu$ とおくと
　
$2(\gamma ^{\mu })^{2}= 2g^{\mu \mu }\boldsymbol{1}$

よって、

$(\gamma ^{0 })^{2}= \boldsymbol{1}\;,\;\;(\gamma ^{i})^{2}=-\boldsymbol{1}$

ここから、

$\gamma _{0 }= \gamma ^{0 }\;,\;\;\gamma _{i}=-\gamma ^{i}$

さて、$\mu\neq i$ となるように、$i$ を選んで

$\begin{align*} \textrm{Tr}(\gamma ^{\mu })= -\textrm{Tr} \left\{ \gamma ^{\mu }(-\boldsymbol{1})\right\}= -\textrm{Tr}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{i}\gamma ^{i}) \end{align*}$

であり、性質 $\textrm{Tr}(ABC)= \textrm{Tr}(CBA)= \textrm{Tr}(BCA)$ から

$\begin{align*} \textrm{Tr}(\gamma ^{\mu })&= -\textrm{Tr}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{i}\gamma ^{i})= -\textrm{Tr}(\gamma ^{i}\gamma ^{\mu }\gamma ^{i})\\ &= -\textrm{Tr}\left\{\gamma ^{i}(2g^{i\mu }\boldsymbol{1}-\gamma ^{i}\gamma^{\mu } ) \right\}\\ &=\textrm{Tr} (\gamma ^{i}\gamma ^{i}\gamma ^{\mu })= \textrm{Tr}(-\boldsymbol{1}\gamma ^{\mu })\\ &= -\textrm{Tr}(\gamma ^{\mu }) \end{align*}$

つまり、$\textrm{Tr}(\gamma ^{\mu })=-\textrm{Tr}(\gamma ^{\mu })$　なので、

$\textrm{Tr}(\gamma ^{\mu })=0$

となります。

まとめると、γ行列には

$\left\{ \gamma ^{\mu },\;\gamma ^{\nu }\right\}= 2g^{\mu \nu }\boldsymbol{1}$

$(\gamma ^{0 })^{2}= \boldsymbol{1}\;,\;\;(\gamma ^{i})^{2}=-\boldsymbol{1}$

$\textrm{Tr}(\gamma ^{\mu })=0$

という性質があるということです。
この候補として、パウリ表現やワイル表現などがあります。

次回は良く使われるパウリ表現を考えてみます。

今日はこの辺で。。

ラベル：場の量子論

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