波束モデル＿(1)

エーレンフェストの定理で、「古典力学の法則は、物理量を期待値で置き換えると量子力学でもそのまま成立する」ことになります。
これは粒子と見る立場だとすんなり受け入れることが出来ますが、波動モデルであると波動関数がある限られた狭い範囲に押し込められているものと見て理解することができます。
このような波動関数は「波束」と呼ばれます。
つまり、ある程度の誤差を許せば、期待値は波束の中心の値で置き換えることが出来、この波束によって表される粒子の運動はある精度内で古典力学の法則に従うと考えられます。
ここでは１次元モデルを考えます。

質量mで１次元空間(x座標)を一定速度v₀で飛んでいる粒子を考えます。
いままではこの波動関数を単純に、

φ(x,t)=exp{i(k₀x-ω₀t)}

と表わしていました。

ただし、k₀=mv₀/h~　、ω₀=mv₀²/(2h~)=h~k₀²/(2m)

t=0とすると、

φ(x,0)=exp(ik₀x)

という波動関数ですが、これを波束にしてみましょう。
どうするかというとx=±∞でゼロとなるように変形することを考えます。
変形後の波動関数を　ψ(x,0)　とすると、

ψ(x,0)=φ(x,0)g(x)

と、ある関数　g(x)　を掛けた形にします。xの存在確率は

|ψ(x,0)|²=|φ(x,0)g(x)|²

となりますが、この　|ψ(x,0)|²　が誤差分布で求めたGauss分布になると都合が良いです。そこで、

|ψ(x,0)|²=(2π)^-1/2σ^-1exp{-x²/(2σ²)}

としましょう。これは±∞で積分すれば１になりますし、⊿x=σ となります。
これから逆算すると、

ψ(x,0)=(2π)^-1/4σ^-1/2exp{-x²/(4σ²)}

となりますが、これは実数だけ考えたからで、虚数分が加味されなければなりません。
よって、exp(ik₀x)　を考慮して

ψ(x,0)=(2π)^-1/4σ^-1/2exp{ik₀x-x²/(4σ²)}

となるべきでしょう。

これは　　g(x)=(2π)^-1/4σ^-1/2exp{-x²/(4σ²)}　という意味です。

一例を図示すると次のような感じです。
（これは実部だけを描いたものであることに注意）