波束モデル＿(2)

前回の説明では、φ(x,0)をGauss分布で閉じ込めてψ(x,0)を作りました。
これはφ(x,0)のエンベロープをGauss分布で押さえたことになるので、波数はφ(x,0)と同じと思ってしまいます。
しかし、Gauss分布で閉じ込めて空間的に限定してしまったので、周期性が無くなってしまいました。
周期性のある関数はフーリエ級数に展開出来て、基本波と高調波（基本波の波数の整数倍の波）の合成で表せて、そのスペクトラム分布は飛び飛びになることが分かっています。
では周期性の無い場合はどうなるのでしょうか？これは連続スペクトルになります。

つまり、波数k₀以外の波が組み合わさっていて、その波数は連続にベターっと分布していることになります。これはフーリエ積分で求めることになります。
フーリエ積分はフーリエ級数展開のΣを∫にしてベターっとさせたものと考えれば良いと思います。
具体的には振幅A(k)の平面波A(k)exp(ikx)の連続的な重ね合わせと見て、

ψ(x,0)=(2π)^-1/2∫A(k)exp(ikx)dk　　　　（積分範囲は-∞～+∞）

と表わせます。A(k)の方は

A(k)=(2π)^-1/2∫ψ(x,0)exp(-ikx)dx　　　　（積分範囲は-∞～+∞）

となります。これを計算すると、

A(k)=(2π)^-1/2∫ψ(x,0)exp(-ikx)dx=(2π)^-1/2(2π)^-1/4σ^-1/2∫exp{ik₀x-x²/(4σ²)}exp(-ikx)dx
=(2π)^-3/4σ^-1/2∫exp{ik₀x-x²/(4σ²)}exp(-ikx)dx=(2π)^-3/4σ^-1/2∫exp{-i(k-k₀)x-x²/(4σ²)}dx

ですが、

x²/(4σ²)+i(k-k₀)x={x/(2σ)}²+2iσ(k-k₀){x/(2σ)}
=[{x/(2σ)}²+2iσ(k-k₀){x/(2σ)}-{σ(k-k₀)}²]+{σ(k-k₀)}²=[{x/(2σ)}+i{σ(k-k₀)}]²+{σ(k-k₀)}²

なので

A(k)=(2π)^-3/4σ^-1/2exp[-{σ(k-k₀)}²]∫exp[-[{x/(2σ)}+i{σ(k-k₀)}]²]dx

となります。　ここで、　x'=x+i2σ(k-k₀)　とすると　dx'=dx　であり、

{x/(2σ)}+i{σ(k-k₀)}={1/(2σ)}[x+i2σ(k-k₀)]=x'/(2σ)

なので、

A(k)=(2π)^-3/4σ^-1/2exp[-{σ(k-k₀)}²]∫exp[-{x'/(2σ)}²]dx'

ということになります。ここで、　∫exp{-(αx)²}dx=π^1/2/α　から

∫exp[-{x'/(2σ)}²]dx'=2σπ^1/2

なので、

A(k)=2^-3/4π^-3/4σ^-1/2(2σπ^1/2)exp[-{σ(k-k₀)}²]=2^1/4π^-1/4σ^1/2exp{-σ²(k-k₀)²}

という結果になりました。これより、

|A(k)|²=2^1/2π^-1/2σexp{-2σ²(k-k₀)²}=(2π)^-1/2(2σ)exp{-(2σ)²(k-k₀)²/2}

となり、これは　k=k₀　を中心とした、標準偏差　1/(2σ)　のGauss分布ということです。
これから、　⊿x=σ　⊿k=1/(2σ)　なので、　 ⊿x・⊿k=1/2　が成立します。 ここで、　p=h~k　から

⊿x・⊿p_x=h~/2

となり不確定性関係が出てきました。

つまり、粒子（波束）を狭い領域に閉じ込めようとすると、波数（運動量）の広がりを大きくしなければならないことが分かります。