円板からの重力は？: T_NAKAの(新)阿房ブログ

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2012年03月05日

円板からの重力は？

「無限平面からの重力場について」https://tnakabou.seesaa.net/article/201203article_3.html という記事を書いたのですが、「無限」じゃなくて「有限」だったら、どうなるか？ということを考えました。

「無限平面からの重力場について」において、円板の半径を Γ としますと、

$l= r^{2}+R^{2}\; ,\; \; r:0 \rightarrow \Gamma \; \Rightarrow \; l:R^{2} \rightarrow \Gamma^{2}+R^{2}$

$F = \pi G\sigma mR \int_{R^{2}}^{ \Gamma^{2}+R^{2} }l^{-3/2}dl= \pi G\sigma mR \left [-2l^{-1/2} \right ]_{R^{2}}^{\Gamma^{2}+R^{2}}$

$= 2\pi G\sigma m\left ( 1 -\frac{R}{\sqrt{\Gamma^{2}+R^{2} }}\right )$

です。
ここで、円板全体の質量 M は

$M= \sigma \pi \Gamma ^{2}\; \rightarrow \; \sigma \pi = \frac{M}{\Gamma ^{2}}$

なので、

$F= \frac{2GMm}{\Gamma ^{2}}\left ( 1 -\frac{R}{\sqrt{\Gamma^{2}+R^{2} }}\right )$

と変形されます。
ここで、ちょっと変だな？っと思いました。。
「重力場は重心の位置からの逆２乗で働く」と考えていいのかと思ってましたが、この円板の重心はどう見てもこの円板の中心なのに、此処との距離 R の逆２乗になってないですね。。
（これは勘違いで、球でないとイケナイのでした。。）

似た話は、とねさんが「これがニュートンの質点の定理の証明だ- 重心と質点の話」http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/8e99a18dc34282857900216178eba029 を展開されていたように記憶しております。（間違っていたらごめんなさい。）

これについては、もう少し独自に考えてみたいと思います。

ラベル：物理

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posted by T_NAKA at 00:01| Comment(5) | TrackBack(1) | 未分類 |

この記事へのコメント

球対称質量分布を持つ物体はその中心に全質量があるときと同じ引力（ポテンシャル）となる、ということは力学で学び周知だと思っていましたが、教えない所（大学の物理学で）もあるのですかねぇ。不思議です。勿論、その場合はガウスの定理からも直ちに得られますが。
円盤型では銀河周辺の恒星が逆2乗則に（見掛け上）従わないという話題を思い出しますね。まあ、連続分布でも一様分布でも無いので、数値シミュレーションによるしか無いのでしょうが、有限と無限が”質”的に異なる場合、予測は困難ですね。
そう言えば、円盤型では俯瞰する立体角が重要でしたね。無限なら定数２πに帰着しますが。

Posted by 明男 at 2012年03月05日 09:11

いやぁ～「球対称質量分布を持つ物体」という条件を私が認識していなかっただけですよ。考えれば直ぐ分かることなんですが、うる憶えだったのです。電気工学科出身で、「教養の物理」しか勉強していないし、機械工学科ではないので力学には疎いわけでして。。
初めは重力≠慣性力を説明しようとしてましたが、「無限平板モデルを持ってこられると区別がつかないねぇ」と言ってみただけでした。そこから脇道に逸れてしまったわけでして。。

Posted by T_NAKA at 2012年03月05日 09:48

ここで書くことでもないのですが、T_NAKAさんのことではなくて、ご紹介先のとねさんの方です。何故か殆ど知られていない、と思われていたようですが、力学の基本ですから、勘違いでしょう。積分の実行も少し面倒ですが高度ではありませんし。まあ、余計なお世話（>自分が）だと言ってしまえば、そうなんですけどね。

Posted by 明男 at 2012年03月05日 10:46

なは！トンデモＳＦの
「マッカンドルー航法」の基礎原理ですなあ！＜おいおい
http://www008.upp.so-net.ne.jp/kimball/mcandrewdrive.gif

ワープ航法同様、重力制御なんてのは夢のまた夢なんでしょうなあ..（Ｔ＿Ｔ）

Posted by Kimball at 2012年03月18日 16:06

「マッカンドルー航法」とは初めて聴きました。ご紹介ありがとうございます。
こうしてみると、ＳＦ（特にスペース・オペラ）はあまり読んでないことに気づかされます。
一番好きなＳＦって何だろうか？と考えると思いつくのはオールディズの「地球の長い午後」あたりです。宇宙ものは得意ではなかったようですね。。

Posted by Ｔ＿ＮＡＫＡ at 2012年03月19日 09:31

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