大気の運動_レイノルズ方程式（１）: T

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2014年07月02日

大気の運動_レイノルズ方程式（１）

大気層では、風向き、風速などが定まることがなく、短い時間の間に変動している状態です。このような流れを乱流と呼ばれます。このような状態で瞬間瞬間の流れを議論してもあまり意味がないのですが、平均を求めて、統計量の性質を考えることは意味のあることと考えられます。

モデルとして
　　瞬時値＝平均値＋偏差
を考え、式として
　　 $u= \bar{u}+{u}'$
と表現することにします。

例えば、連続の式
　 $\frac{d\rho}{dt}+\rho\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0$
に平均値と偏差に分離することを考えます。
いま、非圧縮な大気を考え、密度が一定（dρ/dt＝0）と考えます。そうすると連続の式は
　 $\rho\nabla\cdot\boldsymbol{V}=0\;\rightarrow\;\;\;\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0$
であり、平均流に対しては
　 $\frac{\partial\bar{u}}{\partial x}+\frac{\partial\bar{v}}{\partial y}+\frac{\partial\bar{w}}{\partial z}=0$
が成立するので、偏差に対しては
　 $\frac{\partial{u}'}{\partial x}+\frac{\partial{v}'}{\partial y}+\frac{\partial{w}'}{\partial z}=0$
が成立します。

さて、これからこのモデルをナビエ・ストークスの方程式に適用したいと思いますが、その前に平均操作について確認しておきましょう。物理量 f とｇおよび定数 a について

　 $\overline{f+g}= \bar{f}+\bar{g}\;\;\;\;\;\left(1\right)$
　 $\overline{af}= a\bar{f}\;\;\;\;\;\left(2\right)$
　 $\overline{a}= a\;\;\;\;\;\left(3\right)$
　 $\overline{\bar{f}\cdot g}= \bar{f}\cdot\bar{g}\;\;\;\;\;\left(4\right)$
　 $\overline{\frac{\partial f}{\partial s}}=\frac{\partial \bar{f}}{\partial s}\;\;\;\;\;\left(5\right)$

というルールが成立します。　

証明とまではいきませんが、確認だけはしましょう。有限回（n 回）測定して平均をとることを考えます。
（１）
　 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(f_{i}+g_{i}\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_{i}+ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}g_{i}$
（２）
　 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}af_{i}=a\cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_{i}$
（３）
　 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a=a\cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}1= a$
（４）
　 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\bar{f}\cdot g_{i}\right)=\bar{f}\cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}g_{i}$
（５）
　 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f_{i}}{\partial s}=\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_{i}\right)$

今日はこの辺で。。

ラベル：気象学

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