流体はどのような式で表わされるか: T

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2014年08月29日

流体はどのような式で表わされるか

「高校数学でわかる流体力学_ベルヌーイの定理から翼に働く揚力まで」(ブルーバックス)の第２章「流体はどのような式で表わされるか」の概要を私なりにまとめました。

目次を見ると

　　・流れを把握するための流線
　　・オイラーの方法とラグランジュの方法
　　・流れの表現に不可欠な連続の式
　　・流体の運動方程式 ― オイラーの方程式
　　・渦の数学的表現
　　・ストークスの定理
　　・ストークス

となります。概要を簡単に説明すると

・流れを把握するための流線
　　ここで流線を定義します。
　　流線：その点の接線が、その流れのものと一致。線素は流速ベクトルである。
　　「流線を横切る流れは存在しない。」
　　定常流の流体の一部が流れる軌跡は１本の流線に一致。
　　非定常流の流体の一部が流れる軌跡は１本の流線に一致しない。

・オイラーの方法とラグランジュの方法
　　流れを把握する２つの方法（オイラーとラグランジュ）がある。
　　　オイラーの方法：各座標点での流速を知ることによって流れを把握する
　　　ラグランジュの方法：観察用のボートを浮かべて流されていくボートの位置を知ることによって流れを把握する
　　一般に流体力学では「オイラーの方法」が数学的に取扱いが簡単なのでよく使われる。
　　これについては大気の運動_慣性項と移流項で触れています。
　　２次元を例にこの方法で考えると、
　　　　　 $v_{x}\left(=\frac{dx}{dt}\right)=v_{x}\left(x,y,t\right)\;,\;\;v_{y}\left(=\frac{dy}{dt}\right)=v_{y}\left(x,y,t\right)$
　　であり、
　　　　　 $\frac{dv_{x}}{dt}=\frac{\partial v_{x}}{\partial t}\frac{dt}{dt}+\frac{\partial v_{x}}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial v_{x}}{\partial y}\frac{dy}{dt}=\frac{\partial v_{x}}{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+v_{y}\frac{\partial v_{x}}{\partial y}$
　　同様に、
　　　　　 $\frac{dv_{y}}{dt}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}+v_{y}\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+v_{x}\frac{\partial v_{y}}{\partial x}$
　　また、１次元なら
　　　　　 $\frac{dv_{x}}{dt}=\frac{\partial v_{x}}{\partial t}+\frac{1}{2}\: \frac{\partial v_{x}^{2}}{\partial x}\; ,\; \frac{dv_{y}}{dt}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}+\frac{1}{2}\: \frac{\partial v_{y}^{2}}{\partial y}$
　　　とも書ける。→ベルヌイの定理を証明するときに使う。

・流れの表現に不可欠な連続の式
　　これは、大気の運動_連続の式やスピン０のシュレディンガー方程式（１）_確率の流れで説明したもので、
　　この本では
　　　 $\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathrm{div}\left(\rho\boldsymbol{v}\right)=0$
　　であり、非圧縮性流体であると、
　　　 $\mathrm{div}\: \boldsymbol{v}=0$
　　と表現しています。

・流体の運動方程式 ― オイラーの方程式
これについては別記事で詳しく勉強した結果を書く予定です。

・渦の数学的表現
　　循環 : 流速 v_s を閉曲線 C での周回積分
　　渦度ベクトル : いわゆるrot(回転)のこと
これについても別記事で詳しく勉強した結果を書く予定です。

・ストークスの定理
　　いわゆるベクトル解析で有名な定理で、これについても別記事で詳しく勉強した結果を書く予定。

・ストークス
　これはストークスの簡単な評伝で、ケンブリッジ大学のスミス賞選考のための試験問題で、ストークスが1854年に出題したため「ストークスの定理」と呼ばれるようになったとのこと。
　なんと、このときの受賞者があのマックスウェルだったとのことです。

今日はこの辺で。。

ラベル：流体力学

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