波束モデルを考える（２）: T_NAKAの(新)阿房ブログ

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2016年07月26日

波束モデルを考える（２）

前記事同様波束モデル＿(2)を書き換えて再掲します。

「波束モデル＿(2)」----------------------------------------------------
前回の説明では、$\phi (x,0)$ を $Gauss$ 分布で閉じ込めて $\psi (x,0)$ を作りました。
これは $\phi (x,0)$ のエンベロープを $Gauss$ 分布で押さえたことになるので、波数は $\phi (x,0)$ と同じと思ってしまいます。
しかし、$Gauss$ 分布で閉じ込めて空間的に限定してしまったので、周期性が無くなってしまいました。
周期性のある関数はフーリエ級数に展開出来て、基本波と高調波（基本波の波数の整数倍の波）の合成で表せて、そのスペクトラム分布は飛び飛びになることが分かっています。
では周期性の無い場合はどうなるのでしょうか？これは連続スペクトルになります。

つまり、波数 $k_{0}$ 以外の波が組み合わさっていて、その波数は連続にベターっと分布していることになります。これはフーリエ積分で求めることになります。
フーリエ積分はフーリエ級数展開の $\sum$ を $\int$ にしてベターっとさせたものと考えれば良いと思います。
具体的には振幅 $A(k)$ の平面波 $A(k)\exp (ikx)$ の連続的な重ね合わせと見て、

　 $\psi(x,0)=\frac{1}{(2\pi )^{1/2}}\int_{-\infty }^{\infty } A(k)e^{ikx}dk$
と表わせます。$A(k)$ の方は
　 $A(k)=\frac{1}{(2\pi )^{1/2}}\int_{-\infty }^{\infty }\psi(x,0)e^{-ikx}dx$
となります。これを計算すると

$\begin{align*} A(k)&=\frac{1}{(2\pi )^{1/2}} \frac{1}{(2\pi )^{1/4}\sigma^{1/2} }\int_{-\infty }^{\infty }e^{ik_{0} x-\frac{x^{2}}{4\sigma^{2} } }e^{-ikx}dx\\ &= \frac{1}{(2\pi )^{3/4}\sigma^{1/2} }\int_{-\infty }^{\infty }e^{-\frac{x^{2}}{4\sigma^{2} } +i(k_{0}-k)x}dx \end{align*}$
ですが、「ガウス波束の前準備」を参考にすると

　 $A(k)= \frac{2\sigma \pi ^{1/2}}{(2\pi )^{3/4}\sigma^{1/2} }e^{-\sigma^{2} (k_{0}-k)^{2}}= \frac{2 ^{1/4}\sigma^{1/2}}{\pi^{1/4} }e^{-\sigma^{2} (k_{0}-k)^{2}}$
という結果になりました。これより、

　 $\begin{align*} |A(k)|^{2}&= \frac{2 ^{1/2}\sigma}{\pi^{1/2} }\: e^{-2\sigma^{2} (k_{0}-k)^{2}}\\ &= \frac{2\sigma}{\sqrt{2\pi } }\: e^{-(2\sigma)^{2} \frac{(k_{0}-k)^{2}}{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi } (1/2\sigma)}\exp \left \{ -\frac{1}{2}\left ( \frac{k-k_{0}}{1/2\sigma }\right )^{2} \right \} \end{align*}$
となり、これは　$k=k_{0}$ を中心とした、標準偏差　$1/(2 \sigma)$　の $Gauss$ 分布ということです。
これから、

　 $\Delta x= \sigma ,\; \Delta k= \frac{1}{2\sigma }\; \to \; \Delta x\Delta k=\frac{1}{2}$
ここで、$p= \hbar k$ から

　 $\Delta x\Delta p=\frac{\hbar}{2}$
となり不確定性関係が出てきました。
つまり、粒子（波束）を狭い領域に閉じ込めようとすると、波数（運動量）の広がりを大きくしなければならないことが分かります。
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