前記事と同じように
とし、（４）式によって定めることを考えます。ただし
から
となって
さらに
から
こうして
となりました。これも（１）式の解になります。
とおいた場合の（７）式の右辺を（-ν）次の第一種のベッセル関数といい、
なので、
よって、次の定理となります。
[定理]---------------------
で与えられる。
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ラベル：数学
2019年02月26日
第一種ベッセル関数（２）
今回は λ= -ν の場合を考えます。
前記事と同じように
とし、（４）式によって定めることを考えます。ただし)
は整数でないと仮定しておきます。
^{2}-\nu ^{2}= (\lambda ^{2}-\nu ^{2})+2\lambda k+k^{2}= -2\nu k+k^{2}=2 k\left ( \frac{k}{2} -\nu \right )
)
から
&space;\right&space;\}+a_{k-2}=&space;0\;&space;\to\:&space;a_{2m}\left&space;\{&space;2^{2}m(m-\nu&space;)&space;\right&space;\}+a_{2(m-1)}=&space;0 "a_{k}\left \{ 2 k\left ( \frac{k}{2} -\nu \right ) \right \}+a_{k-2}= 0\; \to\: a_{2m}\left \{ 2^{2}m(m-\nu ) \right \}+a_{2(m-1)}= 0")
となって
}\: a_{2(m-1)}\; \; \; \; \; \; \; (m=1,2,3,\cdots ))
さらに
}\: \frac{-1}{2^{2}(m-1)(m-1-\nu )}\: a_{2(m-2)}= \frac{(-1)^{2}}{2^{2\cdot 2}m(m-1)(m-1-\nu)(m-\nu )}\: a_{2(m-2)})
から
^{m}}{2^{2m}m!(1-\nu)(2-\nu)\cdots (m-\nu )}\: a_{0}\; \; \; \; \; \; \; (m=1,2,3,\cdots ))
こうして
}+\frac{x^{4}}{2^{4}\cdot 2(1-\nu )(2-\nu )}+\cdots)
^{m}\frac{x^{2m}}{2^{2m}m!(1-\nu)(2-\nu)\cdots (m-\nu )}+\cdots \Big]\; \; \; \; \; \; \; \; \; (7))
となりました。これも（１）式の解になります。
})
とおいた場合の（７）式の右辺を（-ν）次の第一種のベッセル関数といい、)
で表します。
= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+1-\nu )}\left ( \frac{x}{2} \right )^{2m-\nu }\; \; \; \; \; \; (8))
が整数でないとき、
= 0 \; ,\; \lim _{x \to 0}J_{-\nu }(x)= \infty)
なので、)
と とは（１）の一次独立な解です。
よって、次の定理となります。
[定理]---------------------
が整数でないとき、ベッセルの微分方程式の一般解は
)
で与えられる。
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前記事と同じように
とし、（４）式によって定めることを考えます。ただし
から
となって
さらに
から
こうして
となりました。これも（１）式の解になります。
とおいた場合の（７）式の右辺を（-ν）次の第一種のベッセル関数といい、
なので、
よって、次の定理となります。
[定理]---------------------
で与えられる。
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