ツイッターにあった積分問題（６）: T_NAKAの(新)阿房ブログ

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2019年06月16日

ツイッターにあった積分問題（６）

これもツイッターで見つけた問題です。

　 $\int \frac{dx}{x^{5}-x}$

　 $\frac{1}{x^{5}-x}= \frac{1}{x(x^{4}-1)}= \frac{1}{x(x+1)(x-1)(x+i)(x-i)}$
　　 $= \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+i}+\frac{E}{x-i}$

とすると、

　 $A=\frac{x}{x^{5}-x}\bigg|_{x=0}=\frac{1}{x^{4}-1}\bigg|_{x=0}= -1$
　 $B=\frac{x+1}{x^{5}-x}\bigg|_{x=-1}=\frac{1}{x(x-1)(x^{2}+1)}\bigg|_{x=-1}= \frac{1}{(-1)(-2)2}= \frac{1}{4}$
　 $C=\frac{x-1}{x^{5}-x}\bigg|_{x=1}=\frac{1}{x(x+1)(x^{2}+1)}\bigg|_{x=1}= \frac{1}{2\cdot 2}= \frac{1}{4}$
　 $D=\frac{x+i}{x^{5}-x}\bigg|_{x=-i}=\frac{1}{x(x^{2}-1)(x-i)}\bigg|_{x=-i}= \frac{1}{(-i)(-2)(-2i)}= \frac{1}{4}$
　 $E=\frac{x-i}{x^{5}-x}\bigg|_{x=i}=\frac{1}{x(x^{2}-1)(x+i)}\bigg|_{x=i}= \frac{1}{i(-2)(2i)}= \frac{1}{4}$

なので、

　 $\frac{1}{x^{5}-x}= -\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+1} +\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+i} +\frac{1}{x-i}\right )= -\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\left ( \frac{2x}{x^{2}-1} +\frac{2x}{x^{2}+1} \right )$
　　 $= -\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\left ( \frac{4x^{3}}{x^{4}-1} \right )$

で、

　 $\int \frac{dx}{x^{5}-x}= -\int \frac{dx}{x}+\frac{1}{4}\left ( \int \frac{4x^{3}}{x^{4}-1}\: dx \right )= -\log x+\frac{1}{4}\: \log (x^{4}-1)+C$

ラベル：数学

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