久々に積分問題をやってみる: T_NAKAの(新)阿房ブログ

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2019年11月10日

久々に積分問題をやってみる

被積分関数の変形が思いつかないのでちょっと苦労しました。

[問題]------------------------------------
　 $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}x\sin ^{3}xdx$
-----------------------------------------

最終的には素直に

　 $\sin ^{3}x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}$

という公式を使うと

　 $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}x\sin ^{3}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}x\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}dx$
　　 $= \frac{3}{4}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx-\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}x\sin 3xdx$
　　 $= \frac{3}{4}\left \{ \left [ -x\cos x \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx \right \}-\frac{1}{4}\left \{ \left [-\frac{1}{3}x \cos 3x \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}+ \frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos 3xdx\right \}$
　　 $= \frac{3}{4}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx -\frac{1}{4\cdot3}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \cos 3xdx$
　　 $= \frac{3}{4}\left [\sin x \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}} -\frac{1}{4\cdot3}\left [ \frac{1}{3}\sin 3x \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}= \frac{1}{4}\left \{ 3-\frac{1}{3}\left ( -\frac{1}{3} \right ) \right \}$
　　 $= \frac{1}{4}\cdot \frac{28}{9}= \frac{7}{9}$

ところで、冒頭の公式を導出しておきます。

　 $\sin ^{3}x= \sin x\cdot \sin ^{2}x= \frac{1}{2}\sin x(1-\cos 2x)$
　　 $= \frac{1}{2}(\sin x-\cos 2x\sin x)= \frac{1}{2}\left \{ \sin x-\frac{1}{2}(\sin 3x-\sin x) \right \}$
　　 $= \frac{1}{2}\left \{ \frac{3}{2}\sin x-\frac{1}{2}\sin 3x \right \}= \frac{3\sin x-\sin 3x}{4}$

ラベル：数学

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