これは光行差の問題なのかな？: T

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2021年05月28日

これは光行差の問題なのかな？

「ブラックホール宇宙物理の基礎」の Kindle 版を勉強していますが、次のような章末問題がありました。これについて考えてみました。

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問題 1.4 放射を出す物体が我々に向かって視線方向と角 $\theta$ を成す方向に速さ $v$ で等速度運動している場合を考える．この物体の放射を十分遠方から観測したときの物体の見かけの速さ $v_{\mathrm{obs}}$ を求めよ．
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文章読解力が弱いので、
「放射を出す物体が我々に向かって視線方向と角 $\theta$ を成す方向に速さ $v$ で等速度運動している場合を考える．」
というのが良く分からず、解答をチラ見してしまいました。
横から見た概念図です。

観測者の視線から見た図です。

もう少し具体的に描いてみます。

$t=0$ で物体と観測者の $x$ 軸方向の距離を $D$ とし、$t=0$ で物体を発した光は観測者に $t=t_{0}$ に届くとします。ここから

$t_{0}= \frac{D}{c}$
（注：　この議論は一つの慣性系内の話なので、ローレンツ変換は必要ないのですが、光速度不変という相対論的要請は考慮しなければなりません。）
次に $t=\Delta t$ に物体から発せられた光は観測者に $t=t_{1}$ に届くとします。そうすると、

$t_{1}= \Delta t+\frac{D-v\Delta t\cos \theta }{c}= \left ( 1-\frac{v}{c}\cos \theta \right )\Delta t+\frac{D}{c}$
そして、この $t_{1}-t{0}$ の間に物体は $y$ 軸方向に $v\Delta t \sin \theta$ だけ動きます。つまり、

$v_{\mathrm{obs}}= \frac{v\Delta t\sin \theta }{t_{1}-t_{0}}= \frac{v\Delta t\sin \theta}{\left ( 1-\frac{v}{c}\cos \theta \right )\Delta t}= \frac{v\sin \theta}{1-\frac{v}{c}\cos \theta}$

次図の場合

$t_{1}= \Delta t+\frac{D+v\Delta t\cos \theta }{c}= \left ( 1+\frac{v}{c}\cos \theta \right )\Delta t+\frac{D}{c}$
から

$v_{\mathrm{obs}}= \frac{v\sin \theta}{1+\frac{v}{c}\cos \theta}$
なのですが、

$v_{\mathrm{obs}}= \frac{v\sin (\pi -\theta)}{1-\frac{v}{c}\cos (\pi -\theta)}= \frac{v\sin \theta}{1+\frac{v}{c}\cos \theta}$
として求めることが出来ます。