テキストは「物理で『群』とはこんなもの」（小野嘉之著・共立出版）を使います。
今回は「組み替え定理」というのをやりますが、群表というのを考えましょう。
群表の例は４元群だと、次のようなものです。
当たり前の感覚で不思議だとは思いませんが、群表の１つの列あるいは１つの行に着目すると、その中には群の元は一度だけ必ず現れ、二度は現れないことがわかります。
この性質は組み替え定理と呼ばれています。
[簡単な証明]================================
・ある群 \(\boldsymbol{G}= \left\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n} \right\}\) の１つの元 \(a\) を用いて、\( \left\{aa_{i} \right\}\; \; \; (i=1,2,\cdots ,n)\) あるいは \(\left\{a_{i}a \right\}\) という集合を作る
・この手続きによって群表の１つの行あるいは列ができる
・例えば１つの行の中から２つの要素を取り出し \(aa_{i} = aa_{j}\) （ただし \(k\) と \(j\) は等しくない）であったとする
・左から \(a^{-1}\) を両辺にかけると、\(a_{i} = a_{j}\) となり矛盾
・よって、\(aa_{i}\) と \(aa_{j}\) は等しくない
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\(aa_{i}\) などは群の定義から群の元のどれかになるのですから、「群表の１つの列あるいは１つの行に着目すると、その中には群の元は一度だけ必ず現れ、二度は現れない」ということになります。
これは以外と便利な性質のようですね。
今日はこの辺で。。
ラベル：数学
